Dr.Godfried-Willem RAES

Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 4: Akoestiek

AUGENT - Hogeschool Gent : Departement Muziek

4051:

Staven, buizen en... rieten.

Toegepast in instrumenten zoals: xylofoon, marimba, celesta, glockenspiel, tubular bells..., maar eveneens de grondslag van de toonopwekking in enkel- en dubbelrietinstrumenten, in tongwerken van orgels en in akkordeons, mondharmonikas, bandoneons en harmoniums met doorslaande tongen.

Hoewel op het eerste gezicht een op twee punten gesteunde staaf zich zo'n beetje lijkt te gedragen als een snaar, maken enkele fundamentele verschillen dat niets van de snaarteorie op staven van toepassing blijkt te zijn. Immers bij snaren wordt de spanning in hoofdzaak extern aangebracht terwijl bij staven de kracht die voor het terugkeren uit een toestand van onevenwicht zorgt, volledig inwendig is aan het materiaal zelf waaruit de staaf is vervaardigd.

De trillingswijze van staven hangt af van de wijzen waarop ze al dan niet worden ingeklemd. We onderscheiden daarbij volgende gevallen:

vrije staaf

De boventoonreeks voor verschillende trillingsmodi ziet eruit als:

Deze trilwijze vinden we o.m. toegepast in claves, twee zo identiek mogelijke staven uit hardhout die tegen elkaar worden geslagen.

Wie die boventoonreeks graag op een meer 'muzikaal' leesbare wijze wil zien, geven we deze reeks hier, voor een grondtoon van 110Hz (La):

Merk op dat niet de kwint, maar een eerder onreine kwart, hier de meest dominante boventoon vormt. In de 'klassieke' muziek worden deze instrumenten nooit als toonhoogtehebbend gebruikt. Hun klankkleur versmelt niet met een konservatieve (op drieklankharmonie gesteunde) instrumentale schriftuur.

vrije staaf, opgelegd op nodale punten

hierbij wordt de grondtoon sterk naar voor gebracht, voor het overige trillen ze zoals in het geval hierboven. Praktische toepassingen in muziekinstrumenten vinden we in marimbas, xylofonen, vibrafoon, glockenspiel, tubular bells, celesta (deze laatste twee, opgehangen op een nodaal punt).

 

Een praktische formule waarmee de frekwentie van de grondtoon van een vrije opgelegde staaf kan worden berekend vinden we bij Olson, p.77:

f = (1.133 Pi / (len^2)) SQR(Q (K^2)/ rho)

waarin:

• len = lengte van de staaf in cm
• rho = densiteit van het materiaal in g/cm3
• Q = Young's modulus in dyne / cm2
• K = trillingsstraal (radius of gyration)

De waarde van K hangt af van de vorm van de staaf en is voor een staaf met een rechthoekige doorsnede:

K = a / SQR(12)

waarbij a = dikte van de staaf in de richting waarin ze wordt aangeslagen.

Dit geldt voor xylofoonstaven, metalofoons, vibrafoons, marimbas, tenminste voorzover we de centrale uitholling van die staven buiten beschouwing laten. De funktie van die uitholling bestaat er niet alleen in de grondtoon te verlagen, maar ook en vooral om het geproduceerde spektrum 'harmonischer' te laten klinken. Bij xylofoons poogt men steeds de eerste harmonische zoveel mogelijk af te stemmen op 3 maal de grondtoon (een kwint dus). Bij marimbas daareentegen, stemt men de eerste harmonische op die wijze af op 4 maal de grondtoon (het dubbeloktaaf dus). De resonatoren (aan een kant gesloten buizen) worden afgestemd op de grondtoon.

Voor een staaf met ronde doorsnede is het:

K = a/ 2

waarbij a = straal van de staaf in cm.

De celesta maakt gebruik van dergelijke massieve staven, meestal in brons of ijzer.

Voor holle pijpen (buizen) wordt het:

K = (SQR( (a1^2) + (a2^2)))/2

waarin:

• a1: straal van de inwendige cirkel ( de holte)
• a2: straal van de uitwendige cirkel (halve buitendiameter van de buis)

Het verschil tussen beide komt uiteraard met de wanddikte overeen.

Dit geldt voor buisklokken, tubofoons, windchimes etc.

Het berekenen en bouwen van een tubofoon, waarvoor dikwandige aluminiumbuizen worden gebruikt is helemaal niet moeilijk. We hebben zelf verschillende dergelijke instrumenten gebouwd. Daarbij bleek de berekende waarde steeds wat af te wijken van de op grond van de Olson formules berekende waarde.

Daarom bestaat de beste praktische werkwijze erin te vertrekken van een enkele buis, die zorgvuldig en zo precies mogelijk te stemmen op een van de gewenste toonhoogtes. Let op: je kan alleen stukjes afzagen of vijlen, waardoor de toon stijgt. Verlagen kan niet. Een te kort geworden buis kan je natuurlijk wel nog voor de eerstvolgende hogere toon gebruiken. Eens je die klus hebt geklaard kan je de materiaalkonstanten uit de formule isoleren:

Matkons = (len ^ 2) * f

waarbij len = lengte van de buis in cm (meet die wel met een nauwkeurigheid van minstens een tiende van een millimeter)

f = de frekwentie van de voortgebrachte toon.

Wanneer je alleen de noot weet (als midi getal), brengen we in herinnering dat de frekwentie ervan eenvoudig kan worden berekend met:

• La = 442.00 ' de gekozen diapason
• GrondDo = La * (2!^(3!/12!))/64! ' dit is de toonhoogte van midi noot 0
• f = GrondDo * (2 ^ (noot / 12!))

Uitgaand van deze gegevens kunnen we nu eenvoudig de lengtes van de eerste halve toon erboven en eronder berekenen met de vereenvoudigde formule:

len = SQR(matkons / freq)

We geven hier het resultaat van onze proefneming met 12 kromatisch gestemde buizen, diapason 442Hz, en de berekening (door extrapollatie) over heel wat meer noten. Praktisch merken we hierbij op dat de hier gebruikte buizen voor toonhoogtes lager dan midi noot 48, niet meer goed klinken. De hoge harmonischen gaan dan teveel doorwegen in het spektrum. Voor lage noten moeten dan ook buizen met oplopend grotere diameters worden gebruikt. Mensurering noemt men dat in de instrumentenbouw.

• Materiaal: aluminium buis 30/24mm
• note = midi note number
• f = frequency of the fundamental
• l_cal = calculated length of the tube
• l_eff = empiric exact legth of the tube
• error = difference bewteen l_cal and l_eff
• note= 36 f = 65 l_cal= 1589.887 node at: 356.4526 mm
• note= 37 f = 69 l_cal= 1543.115 node at: 345.9664 mm
• note= 38 f = 73 l_cal= 1500.242 node at: 336.3543 mm
• note= 39 f = 78 l_cal= 1451.361 node at: 325.3952 mm
• note= 40 f = 82 l_cal= 1415.52 node at: 317.3596 mm
• note= 41 f = 87 l_cal= 1374.242 node at: 308.1051 mm
• note= 42 f = 92 l_cal= 1336.377 node at: 299.6157 mm
• note= 43 f = 98 l_cal= 1294.821 node at: 290.2989 mm
• note= 44 f = 104 l_cal= 1256.916 node at: 281.8005 mm
• note= 45 f = 110 l_cal= 1222.156 node at: 274.0073 mm
• note= 46 f = 117 l_cal= 1185.032 node at: 265.6841 mm
• note= 47 f = 124 l_cal= 1151.097 node at: 258.076 mm
• note= 48 f = 131 l_cal= 1119.92 node at: 251.0862 mm
• note= 49 f = 139 l_cal= 1087.215 node at: 243.7536 mm
• note= 50 f = 147 l_cal= 1057.217 node at: 237.0281 mm
• note= 51 f = 156 l_cal= 1026.268 node at: 230.0892 mm
• note= 52 f = 165 l_cal= 997.886 node at: 223.726 mm
• note= 53 f = 175 l_cal= 968.9556 node at: 217.2398 mm
• note= 54 f = 185 l_cal= 942.4038 node at: 211.2869 mm
• note= 55 f = 196 l_cal= 915.5769 node at: 205.2723 mm
• note= 56 f = 208 l_cal= 888.7737 node at: 199.2631 mm
• note= 57 f = 220 l_cal= 864.1946 node at: 193.7524 mm
• note= 58 f = 234 l_cal= 837.944 node at: 187.867 mm
• note= 59 f = 248 l_cal= 813.9487 node at: 182.4873 mm
• note= 60 f = 262 l_cal= 791.9034 node at: 177.5448 mm
• note= 61 f = 278 l_cal= 768.7772 node at: 172.3598 mm
• note= 62 f = 294 l_cal= 747.5654 node at: 167.6042 mm
• note= 63 f = 312 l_cal= 725.6807 node at: 162.6976 mm
• note= 64 f = 331 l_cal= 704.5452 node at: 157.959 mm
• note= 65 f = 350 l_cal= 685.155 node at: 153.6118 mm
• note= 66 f = 371 l_cal= 665.4814 node at: 149.2009 mm
• note= 67 f = 393 l_cal= 646.5864 node at: 144.9647 mm
• note= 68 f = 417 l_cal= 627.7039 node at: 140.7312 mm
• note= 69 f = 441 l_cal= 610.3846 node at: 136.8482 mm
• note= 70 f = 468 l_cal= 592.5158 node at: 132.842 mm
• note= 71 f = 496 l_cal= 575.5486 node at: 129.038 mm
• note= 72 f = 525 l_cal= 559.4268 node at: 125.4235 mm
• note= 73 f = 556 l_cal= 543.6075 node at: 121.8768 mm
• note= 74 f = 589 l_cal= 528.1597 node at: 118.4134 mm
• note= 75 f = 625 l_cal= 512.7231 node at: 114.9525 mm
• note= 76 f = 662 l_cal= 498.1887 node at: 111.6939 mm
• note= 77 f = 701 l_cal= 484.1321 node at: 108.5424 mm
• note= 78 f = 743 l_cal= 470.2496 node at: 105.43 mm
• note= 79 f = 787 l_cal= 456.9151 node at: 102.4404 mm
• note= 80 f = 834 l_cal= 443.8537 node at: 99.512 mm
• note= 81 f = 883 l_cal= 431.3626 node at: 96.7115 mm
• note= 82 f = 936 l_cal= 418.972 node at: 93.93352 mm
• note= 83 f = 992 l_cal= 406.9744 node at: 91.24365 mm
• note= 84 f = 1051 l_cal= 395.3862 l_eff= 398.2 error: 2.813812 node at: 89.27644 mm
• note= 85 f = 1113 l_cal= 384.2159 l_eff= 387.5 error: 3.284119 node at: 86.87749 mm
• note= 86 f = 1179 l_cal= 373.3069 l_eff= 375 error: 1.693115 node at: 84.075 mm
• note= 87 f = 1250 l_cal= 362.55 l_eff= 363.5 error: .9500122 node at: 81.4967 mm
• note= 88 f = 1324 l_cal= 352.2726 l_eff= 353 error: .7273865 node at: 79.1426 mm
• note= 89 f = 1403 l_cal= 342.211 l_eff= 343.1 error: .8889465 node at: 76.92302 mm
• note= 90 f = 1486 l_cal= 332.5167 l_eff= 333 error: .4832764 node at: 74.6586 mm
• note= 91 f = 1575 l_cal= 322.9852 l_eff= 322.5 error:-.485199 node at: 72.3045 mm
• note= 92 f = 1668 l_cal= 313.852 l_eff= 312.2 error:-1.651947 node at: 69.99524 mm
• note= 93 f = 1767 l_cal= 304.9331 l_eff= 304 error:-.933136 node at: 68.1568 mm
• note= 94 f = 1873 l_cal= 296.1788 l_eff= 294.5 error:-1.678833 node at: 66.0269 mm
• note= 95 f = 1984 l_cal= 287.7743 l_eff= 286 error:-1.774322 node at: 64.1212 mm
• note= 96 f = 2102 l_cal= 279.5803 l_eff= 277.5 error:-2.080261 node at: 62.2155 mm
• note= 97 f = 2227 l_cal= 271.6206 node at: 60.89735 mm
• note= 98 f = 2359 l_cal= 263.9119 node at: 59.16904 mm
• note= 99 f = 2500 l_cal= 256.3615 node at: 57.47626 mm
• note= 100 f = 2649 l_cal= 249.0473 node at: 55.83641 mm
• note= 101 f = 2806 l_cal= 241.9798 node at: 54.25186 mm
• note= 102 f = 2973 l_cal= 235.0853 node at: 52.70612 mm
• note= 103 f = 3150 l_cal= 228.385 node at: 51.20392 mm
• note= 104 f = 3337 l_cal= 221.8936 node at: 49.74854 mm
• note= 105 f = 3535 l_cal= 215.5898 node at: 48.33523 mm
• note= 106 f = 3746 l_cal= 209.43 node at: 46.95422 mm
• note= 107 f = 3969 l_cal= 203.4615 node at: 45.61608 mm
• note= 108 f = 4205 l_cal= 197.6696 node at: 44.31752 mm
• note= 109 f = 4455 l_cal= 192.0432 node at: 43.0561 mm
• note= 110 f = 4719 l_cal= 186.5941 node at: 41.8344 mm
• note= 111 f = 5000 l_cal= 181.275 node at: 40.64185 mm
• note= 112 f = 5298 l_cal= 176.103 node at: 39.4823 mm
• note= 113 f = 5613 l_cal= 171.0903 node at: 38.35844 mm
• note= 114 f = 5946 l_cal= 166.2304 node at: 37.26885 mm
• note= 115 f = 6300 l_cal= 161.4926 node at: 36.20664 mm
• note= 116 f = 6675 l_cal= 156.8907 node at: 35.1749 mm
• note= 117 f = 7071 l_cal= 152.4342 node at: 34.17575 mm
• note= 118 f = 7492 l_cal= 148.0894 node at: 33.20164 mm
• note= 119 f = 7938 l_cal= 143.869 node at: 32.25544 mm
• note= 120 f = 8410 l_cal= 139.7735 node at: 31.33722 mm
• note= 121 f = 8910 l_cal= 135.7951 node at: 30.44526 mm
• note= 122 f = 9439 l_cal= 131.935 node at: 29.57981 mm
• note= 123 f = 10001 l_cal= 128.1744 node at: 28.73669 mm
• note= 124 f = 10596 l_cal= 124.5237 node at: 27.9182 mm
• note= 125 f = 11226 l_cal= 120.9791 node at: 27.12352 mm
• note= 126 f = 11893 l_cal= 117.5377 node at: 26.35195 mm
• note= 127 f = 12600 l_cal= 114.1925 node at: 25.60196 mm

Het zal niemand verbazen dat we dit soort tabellen niet graag met de hand uitrekenen. In een handomdraai kan inderdaad een komputer programma'tje geschreven worden dat eindeloos vele dergelijke tabellen in een flits afwerkt. Bij wijze van illustratie hierbij de bronkode van het programma'tje dat we schreven voor onze proefnemingen met, en berekeningen van dergelijke tubofoons. Wie over dit soort programmeren meer wil weten verwijzen we naar boekdeel 1 van mijn kursus in de algoritmische kompositie. Het programma dat loopt onder alle Windows versies maakt gebruik van de uiterst eenvoudige Power Basic console compiler (PBCC 6.00).

DECLARE FUNCTION N2F (BYVAL noot AS INTEGER) AS INTEGER

GLOBAL La AS SINGLE

GLOBAL Gronddo AS SINGLE

GLOBAL Pi AS DOUBLE

TYPE TubophoneType

• noot AS WORD ' midi noot
• freq AS DWORD ' frekwentie
• l_cal AS SINGLE ' lengte in mm (berekend)
• l_eff AS SINGLE ' opgemeten fysische lengte , meetfout: 0.5mm
• fout AS SINGLE ' afwijking in mm
• node AS SINGLE '

END TYPE

DECLARE FUNCTION F2NF (BYVAL f!) AS SINGLE

 

FUNCTION PBMAIN

LOCAL i AS DWORD

LOCAL f AS SINGLE

LOCAL midinoot AS DWORD

LOCAL buitendiam AS SINGLE

LOCAL binnendiam AS SINGLE

LOCAL lengte AS SINGLE

LOCAL fref AS SINGLE

LOCAL K AS SINGLE

LOCAL l AS SINGLE

LOCAL matkons AS DOUBLE

DIM Tubes(0 TO 127) AS GLOBAL TubophoneType

CONSOLE SCREEN 34,80

CONSOLE NAME "Tubophone calculation"

La = 442.00

GrondDo = La * (2!^(3!/12!))/64!

Pi = 3.141592654#

buitendiam = 3.00 'in cm

binnendiam = 2.40 'in cm ' holle buis met ronde doorsnede:

K = SQR((buitendiam^2) + (binnendiam^2)) / 2! ' gyratie straal 'Q = Youngs modulus in dyne/cm2 ' r = densiteit in g/cm3

' gegevens eerste meetstaaf:

l = 32.25

midinoot = 91 '( sol)

fref = N2F(91)

matkons = (l^2) * fref

' opgemeten waarden: (20.12.2002)

Tubes(84).l_eff = 398.2

Tubes(85).l_eff = 387.5

Tubes(86).l_eff = 375.0

Tubes(87).l_eff = 363.5

Tubes(88).l_eff = 353.0

Tubes(89).l_eff = 343.1

Tubes(90).l_eff = 333.0

Tubes(91).l_eff = 322.5

Tubes(92).l_eff = 312.2

Tubes(93).l_eff = 304.0

Tubes(94).l_eff = 294.5

Tubes(95).l_eff = 286.0

Tubes(96).l_eff = 277.5

' berekening gemiddelde waarde materiaalkonstante:

matkons = 0!

FOR i = 84 TO 96

matkons = matkons + ((Tubes(i).l_eff / 10!)^2) * N2F(i)

NEXT i

matkons = matkons / 13

OPEN "tubophone.txt" FOR OUTPUT AS #1

PRINT #1, "Berekening dimensionering tubofoon"

PRINT #1, "Diapason : "; La; "Hz"

PRINT #1, "Materiaal: aluminium buis 30/24mm"

PRINT #1, PRINT #1, "note = midi note number"

PRINT #1, "f = frequency of the fundamental"

PRINT #1, "l_cal = calculated length of the tube"

PRINT #1, "l_eff = empiric exact length of the tube"

PRINT #1, "error = difference between l_cal and l_eff"

FOR i = 36 TO 127

Tubes(i).noot = i

Tubes(i).freq = N2F(i)

l = SQR(matkons / Tubes(i).freq)

Tubes(i).l_cal = l * 10

IF Tubes(i).l_eff THEN

Tubes(i).fout = Tubes(i).l_eff - Tubes(i).l_cal Tubes(i).node = Tubes(i).l_eff * 0.2242

ELSE

Tubes(i).node = Tubes(i).l_cal * 0.2242

END IF

PRINT "noot= ";i,"f = ";Tubes(i).freq, "lengte= "; l * 10; "mm","node at:";l* 10 * 0.2242;"mm"

IF Tubes(i).l_eff THEN

PRINT #1, "note=";i; " f = ";Tubes(i).freq, "l_cal= "; Tubes(i).l_cal; " l_eff=";Tubes(i).l_eff;" error:";Tubes(i).fout ,"node at:";Tubes(i).node * 0.2242;"mm"

ELSE

PRINT #1, "note=";i; " f = ";Tubes(i).freq, "l_cal= "; Tubes(i).l_cal; " node at:";Tubes(i).node * 0.2242;"mm"

END IF

NEXT i

CLOSE #1

WAITKEY$

END FUNCTION

FUNCTION N2F (BYVAL noot AS INTEGER) EXPORT AS INTEGER

FUNCTION = INT(GrondDo * (2 ^ (noot / 12!)))

END FUNCTION

De <Tubi> robot is een door ons gebouwd kwarttoonsinstrument dat van dergelijke buizen gebruik maakt. Een volledige bouwbeschrijving is te vinden op de gelinkte pagina.

Een ander uitgewerkt voorbeeld van een tubofoon vinden we in de beschrijving van het 'Singing Fence' projekt. (2018)

Een klankinstallatie met 36 dikwandige aluminium buizen en 18 ringmodulatoren vormt de kern van het 'Plus-Minus' projekt van Stichting Logos uit 2019.

---

staaf ingeklemd aan een uiteinde

Merk op dat de eerste boventoon meer dan 6 maal de frekwentie heeft van de grondtoon! Instrumenten waarbij trillingsbronnen volgens dit model worden toegepast zijn o.m. de rietinstrumenten (zowel enkelrieten als dubbelrieten) , de akkordeon, melodika, harmonium, mondharmonika (allen instrumenten met zgn. doorslaande tongen), speelgoedpiano, nagelviool, waterphone, 'gongs' uit staande klokken, muziekdozen met toonkammen...

Een formule voor de berekening van de grondtoon van dergelijke staven vinden we bij Olson, p.76:

f = (0.5596 / (l^2) ) SQR( ( Q (K^2)) / rho)

Voor Q, K en rho gelden dezelfde eenheden en regels zoals hiervoor behandeld bij vrij klinkende staven.

De nodale punten voor de boventonen liggen, in verhouding tot de lengte van de staaf, op volgende plaatsen:

• f1 : 0.2261
• f2: 0.1321 en 0.4999
• f3: 0.0944, 0.3558 en 0.6439

Een nagelviool (instrument uit het laatste kwart van de achtiende eeuw) ziet eruit als:

Dit 18e eeuws exemplaar komt uit het Haendel-Haus in Halle (Duitsland).

De rieten van klarinetten (enkelriet) en hobos (dubbelriet) werken ook volgens dit principe, maar worden in hun trillingsvrijheid gehinderd doordat de trilling door kontakt (met de baan van het mondstuk bij de klarinet, en met het tweede riet bij de hobo) wordt gehinderd. Hierdoor wordt de trilling assymetrisch en ontstaan er heel wat meer (non-harmonische) boventonen dan bij een vrij trillende staaf. De stugge koppeling aan de resonator (in casu, een luchtkolom) bepaalt mede de tril-modus van het riet.

Wie zelf instrumenten wil bouwen gesteund op dit type van trillingsbron zal zijn gading vinden op onze webpaginas gewijd aan <Toypi>, een automatische speelgoedpiano, en <Rodo>.Voor deze laatste robot gebruikten we lange bronzen staven.

staaf ingeklemd in het midden

Trilwijzen zoals voor staven ingeklemd aan een enkel uiteinde, maar met sterke benadrukking van de grondtoon. Wanneer een van de benen van de staaf wordt aangeslagen, gaat het andere been meetrillen. Of de beide benen in elkaars verlengde liggen dan wel of ze worden omgebogen in een U of V vorm, doet voor de trilwijze niet veel terzake. Wel worden de sowieso reeds erg hoog liggende harmonischen door de buiging van de staaf om het middelpunt, nog verder afgezwakt.

Toepassingen: stemvorken, vorkresonator (synergetische konstruktie, waarbij de grondtoon van de vork overeenkomt met de resonantiefrekwentie van de ingesloten luchtkolom), klankskulpturen (Baschet)

longitudinaal trillende staven

toepassingen: Baschet instrumenten, ultrasoonbronnen, glasinstrumenten. Longitudinaal trillende staven worden ook gebruikt als meetinstrumenten en referenties voor het opwekken van extreem hoge frekwenties (vanaf zo'n 5000 Hz). Voor dergelijke frekwenties blijkt het immers onmogelijk stemvorken te bouwen. De excitatie kan gebeuren door op een van uiteinden te slaan in de lengterichting van de staaf, maar kan ook elektromagnetisch worden bereikt. In de Baschet-instrumenten wordt de trilling tot stand gebracht door wrijving met natte natte vingers.(Een beetje zoals bij een rommelpot). De staven zijn hier gemaakt uit glas.

Een ieder welbekende verschijningsvorm van longitudinaal trillende staven kennen we, wanneer we met een hamer een nagel in een harde balk of muur drijven: de toonhoogte stijgt naarmate de nagel verder in de muur verdwijnt (en het trillend deel dus ook korter wordt).

De formule voor de berekening van de grondtoon van dergelijke staven ziet eruit als:

f = (1 / (2 len)) SQR(q/rho)

merk op dat ook hier geldt

f = c / lambda = c / (len * 2)

waarbij c = de voortplantingssnelheid van het geluid (of de trilling) in het beschouwde materiaal (uitgedrukt in cm/s) en lambda = golflengte van de trilling in het materiaal (in cm). Q en rho, zoals hiervoor behandeld.

Voor de grondtoon geldt dat de staaf dan trilt als een halve golflengte. Met deze wetenschap in het achterhoofd is het vrij eenvoudig om de voortplantingssnelheid van een trilling door een materiaal te berekenen en te bepalen.

De harmonischen van een longitudinaal trillende staaf benaderen bijzonder dicht het platonische ideaal:

• f1 = 2 f0
• f2 = 3 f0
• f3 = 4 f0
• f4 = 5 f0
• f5 = 6 f0 enz...

De Baschet instrumenten danken hieraan hun uitermate eterisch, zoniet zelfs wat elektronisch of synthetisch aandoend, geluid.

referenties:

• Walter RAYLEIGH, "Theory of sound", ed. Macmillan & co, London 1926
• CRANDALL, "Theory of vibrating systems and sound", ed.D.Van Nostrand, Princeton, 1926
• Anthony WOOD "A Text book of sound", ed. George Bell & Sons, London 1930
• MORSE, "Vibration and Sound", ed. Mac Graw-Hill , New York 1948
• LAMB, "Dynamical theory of sound", ed. Edward Arnold, London 1931
• Harry F.OLSON "Music, Physics and engineering", ed. Dover, New York (1952), 1967

Bibliografische referenties voor het vak akoestiek: biblio-akoestiek.html

Filedate: 2019-03-22