Dr.Godfried-Willem RAES
Kursus Akoestiek
Associatie Universiteit Gent, School of Arts, Departement Muziek
| <Terug naar inhoudstafel kursus> |
4050:
Membranen
Membranen:
Bij definitie zijn membranen elastische materialen die vlak opgespannen zijn en ingeklemd worden over hun gehele omtrek. Strikt genomen wordt een membraan beschouwd als homogeen, maar in muziekinstrumenten worden ook vaak niet homogene materialen zoals dierlijke huiden, toegepast. De mrdangam en de tablas vormen hiervan een goed voorbeeld.
Bruikbare materialen:
Hoewel we beide kategorien goed uiteen moeten houden is het evident zo dat naarmate een membraan dikker wordt, het meer op een plaat gaat gelijken. Membranen gemaakt van messing of zelfs brons (wat we aantreffen bij heel wat historische chinese trommels) zijn daarvan goede voorbeelden.
De algemene formule die het gedrag van een aangeslagen membraan van bvb. een trommel beschrijft ziet eruit als volgt:
De komplexiteit van die vergelijking drukt in elk geval al iets uit van de grote komplexiteit van het trillingsverschijnsel in de tijd die zij beschrijft. We citeren de formule hier alleen voor de aardigheid en gaan ze hier dan ook niet verder analyseren.
Voorbeelden van het gebruik van membranen in muziekinstrumenten en akoestische toestellen:
Zoals we bij snaren (en longitudinale luchtkolommen) spraken van buiken en knopen (punten op een in hoofdzaak 1-dimensioneel trillend medium), krijgen we hier te maken met buiklijnen en knooplijnen beschreven in een 2-dimensioneel vlak. Wanneer een ingeklemd en gespannen rond membraan in het midden wordt aangeslagen dan krijgen we een knooplijn die samenvalt met de omtrek van het membraan. Deze trillingsvorm vormt de grondtoon van het trillend membraan.
Omdat de door de rand weergekaatste vlakke golf nu niet meer een-dimensioneel is en bij het doorlopen van haar baan een wisselende weerstand ondervindt, liggen de knooplijnen nu niet meer op gelijke afstanden van elkaar. Gevolg: de boventonen zijn niet langer gehele veelvouden van de grondtoon en komen zelfs niet in de buurt daarvan.
Voor een langs beide zijden vrij trillend membraan verhouden de eerste en de tweede boventoon zich tot de grondtoon als 1 : 2,3 en 1 : 3,6. Merk op dat de juiste waarden mede afhankelijk zijn van de dikte van het membraan evenals van de materiaaleigenschappen ervan (massa en elasticiteits modulus). Het zijn dus geen 'harmonischen' in platonische zin (er is immers niks harmonisch aan). Langs beide zijden vrij trillend wil zeggen dat het membraan dus niet gekoppeld is aan een klankkast (gesloten, zoals bij een pauk, noch open, zoals bij een bongo of een conga).
Slechts zelden worden membranen echter precies in het centrum aangeslagen, en vanzodra de impakt plaatsgrijpt buiten dit centrum, krijgen we nog heel wat meer trillingswijzen in ons membraan te zien. In plaats van nodale cirkels, treden nu ook nodale diameter-lijnen op.
De fundamentele inzichten die we aanhaalden in onze bespreking van trillende snaren, zijn ondanks deze komplexiteit ook op membranen van toepassing: de grondtoon is een funktie van de kracht waarmee het membraan over zijn omtrek wordt aangespannen. De grondtoon daalt naarmate de diameter van het membraan groter wordt genomen. De grondtoon zakt ook wanneer het materiaal dikker wordt gekozen en dus de massa ervan groter wordt.
Een praktische formule waarmee de grondtoon van een membraan kan worden berekend ziet eruit als:
fo = (0.382 / r ) (SQR(T/m))
waarin:
m = massa van het membraan in g/cm^2
r = straal van het membraan in centimeter
T = kracht op het membraan in Dyne/cm
(Eenheden in het CGS stelsel waarbij 1 Dyne = 10E-5 Newton)
of in vandaag meer gebruikelijke kgms eenheden:
fo = (3.82 / r) (SQR(T/m))
waarin:
m = massa van het membraan in kg/m2
r = straal van het membraan in meter
T = kracht op het membraan in N/m
Een praktische trommel vormt evenwel een gekoppeld akoestisch systeem. De resonator -een begrensd volume lucht- dempt de trilling van het membraan. Immers dit luchtvolume moet worden samengeperst en ontspannen. Het werkt als een veer en wordt dan ook gekenmerkt door zijn eigen resonantiefrekwenties. Bovendien -en dat is erg belangrijk als verklaring voor het veranderde spektrum waarmee we bij trommen te maken krijgen in vergelijking met vrij trillende membranen- bevindt dit luchtvolume en deze weerstand zich slechts aan een enkele zijde van het membraan.
Nemen we bvb. de pauk als model: dit instrument heeft een halvebolvormig gesloten luchtvolume aan een kant van het membraan. Beschouwen we nu de grondtrilling, dan blijkt dat wanneer het membraan wordt ingedrukt, dit tevens een kompressie van de ingesloten lucht voor gevolg zal moeten hebben. Omgekeerd, zal het terugveren van het membraan een stootje moeten krijgen door de expansie van het luchtvolume. In deze trillingsmodus is het effekt van het luchtvolume ongeveer hetzelfde als zouden we een dikker en zwaarder membraan hebben gebruikt. Deze trilwijze, die de grondtoon oplevert, wordt in praktische pauken bijna steeds sterk onderdrukt (o.m. door de aanwezigheid van een drukkompensatiegaatje in de trom) waardoor die toon heel wat zachter zal klinken dan de eerste boventoon, die we dan ook als 'grondtoon' zullen waarnemen, horen en duiden. Alleen in de 'doef' bij de eerste aanslag van de pauk of trom is hij goed waarneembaar. (Sla eens een pauk centraal aan met een zware en zachte stok (mallet) en laat de stok niet terugveren maar druk hem integendeel hard aan tegen het membraan).
Bovenstaande beschouwing geldt evenwel absoluut niet voor de tweede trillingsmodus: hier immers blijft het volume van de lucht in de klankkast konstant. Naarmate het membraan in de ene richting uitwijkt, is er steeds een ander vlak waarbij de trilling in de tegenovergestelde richting, kompenserend, uitwijkt. Voor deze modus werkt de lucht dus niet meer als een virtuele verzwaring van het membraan. De akoestische eigenschappen van de resonator als trillende luchtkolom gaan hier een dominante rol spelen. De verhouding tussen de trillingsgetallen van de boventonen is dus geenszins konstant, maar hangt volledig af van de volumetrische eigenschappen van het aan het membraan gekoppeld luchtvolume.
Het enige wat algemeen kan worden gesteld, is dat een gekoppelde resonator steeds de verhoudingen van de boventonen verkleint, en dus hun toonhoogte verlaagt.
Het feit dat de boventoonreeks geproduceert door een trom in hoge mate een funktie is van de plaats van aanslag, heeft muzikaal heel wat gevolgen in bijna alle muziekkulturen. De westerse kultuurmuziek is daarbij zowat de armste ter wereld. Zowel de latijns amerikaanse conga's en bongo's, de afrikaanse djembe, de indonesische ketipung, de japanse zandlopertrommen, als -en dat is wellicht het uiterste op dit gebied- de indische tabla's en mrdangam, maken bij hun bespeling in eerste plaats gebruik van aanslagverschillen, plaatsverschuivingen en drukmodulatie op het membraan. De indische mrdangam en tabla (eigenlijk het koppel tabla en banya) zijn voorzien van een opzettelijk inhomogeen gemaakt membraan: er wordt een centrale verdikking op aangebracht samengesteld uit een mengsel van rijst en bloed. Daardoor wordt het mogelijk tonige melodien op deze trommen te spelen.
Omdat de boventonen van een membraan naarmate we hoger gaan in het spektrum alsmaar dichter bijeen komen te liggen, kunnen membranen wanneer we hun eigenlijke grondtoon maar laag genoeg nemen, goed worden gebruikt als akoestische versterkers enerzijds, en als mikrofoons anderzijds. Alle kondensatormikrofoons zijn opgebouwd als een klein trommeltje dat, zeker in verhouding tot de diameter, erg laag is gestemd (in elk geval op een grondtoon die ver beneden het normale audiobereik ligt). Ook luidsprekers zijn fundamenteel niet anders dan membranen, aangedreven in hun centrum. (cfr. hoofdstuk audiotechnologie in deze kursus). Enigszins denigrerend gesteld zijn het elektromagnetisch aangedreven rommelpotten...
Het membraan toegepast als akoestische versterker treffen we aan in instrumenten zoals de banjo, de Dobro-gitaar, de dilruba (India), de kemanche, de Erhu... Ook de vroegere grammofoons , zowel die met platen als die met rollen, gebruiken een membraan als akoestische versterker. In dit laatste geval wordt het membraan uit dun metaal of mica gemaakt en meestal gekoppeld aan een exponentiele hoorn. (cfr. His Masters Voice logo). De trilling wordt van de naald via een elastische koppeling overgebracht op het centrale punt van het membraan. Overigens, ook ons eigenste oor is uitgerust met een membraan dat wordt aangestuurd door een akoestische versterker gevormd door stijgbeugel en aambeeld.
Wanneer we de massa van een membraan laten toenemen, en de elasticiteit laten afnemen, dan verkrijgen we trillende platen. De boven- en onderbladen van violen, gitaren... zijn ook op die manier akoestisch te benaderen en te berekenen. Opgemerkt moet daarbij echter worden dat het materiaal in deze gevallen (hout) noch als homogeen, noch als isotropisch kan worden beschouwd: de voortplantingssnelheid van trillingen doorheen hout zijn een funktie van de trilrichting. In de richting van de vezels is die snelheid tot driemaal groter dan loodrecht op de vezelrichting. Dit feit verklaart ook de typische vormverhoudingen van de boven- en onderbladen van houten snaarinstrumenten. Meer daarover in onze paragraaf over propagatie van trillingen in homogene en niet homogene media.
Trommen met een bovenblad van hout of zelfs brons, treffen we aan in de Chinese muziekkultuur. Wanneer we op potten, pannen en olievaten slaan, bespelen we eveneens op de omtrek vastgemaakte trillende platen.
De teorie, maar zoals we zullen zien ook de praktijk, van de tweedimensionele membranen kan ook doorgetrokken worden in 3 dimensies. Een driedimensioneel gespannen membraan is immers niets anders dan een opgeblazen ballon. Zo'n ballon wanneer we erop slaan brengt eveneens een duidelijke grondtoon voort, maar kan door hem via wrijving te bespelen (bvb. met natte vingers en of handpalmen) de meest diverse toonhoogtes en geluiden voortbrengen. Musici zoals Terry Day en Judy Dunaway bouwden er een hele muzikale performance karriere mee uit...
De ballon -al kennen we die vandaag welhaast uitsluitend in zijn verschijningsvorm als latex ballon- werd nochtans ook reeds sedert de middeleeuwen gebruikt als klankversterker in muziekinstrumenten. In die tijd werden daar echter opgeblazen varkensblazen voor gebruikt.
Bibliografische referenties:
de zware formule bovenaan dit hoofdstukje ontleenden we aan het boek van Prof.dr.Jean-Paul van Bendegem, 'Over wat ik nog wil schrijven', ed. Garant, 2008, p.245.
BACKUS, John, "The Acoustical Foundations of Music", ed. W.W.Norton & Co, New York 1977 [ISBN 0-393-09096-5]
CENTAZZO, Andrea, "Strumenti a percussione', ed.il Formichieri, Milano, 1979
TAYLOR, Henry W. "The art and science of the timpani", ed. John Baker, London 1969 [1964]
MONTAGU, Jeremy "Making of early percussion instruments", ed. Oxford University Press, London,1976 [ISBN 019-323177-8]
Dit boekje is aanbevolen voor instrumentenbouwers die zich ook willen bekwamen in het bouwen en restaureren (inklusief het plaatsen van natuurlijke vellen) van slaginstrumenten in gebruik in de oude muziek. Ook voor trommel van etnische oorsprong is het van toepassing.
Bibliografische referenties voor het vak akoestiek: biblio-akoestiek.html
Filedate: 17.09.2000 / last update: 2013-04-15
| Terug naar inhoudstafel kursus: <Index Kursus> | Naar homepage dr.Godfried-Willem RAES |