Prof.Dr.Godfried-Willem RAES

Prof.dr.Godfried-Willem Raes
Kursus: Boekdeel 4: Akoestiek , Organologie & Experimentele Instrumentenbouw, Instrumentenleer

Hogeschool Gent : School of Arts

4020:

Pijpen en hun berekening

De hier behandelde berekeningen zijn geldig voor trillingen van luchtkolommen in pijpen of buizen. Deze buizen kunnen zowel een ronde als een veelhoekige doorsnede hebben. Wel moet de vorm van de doorsnede over de gehele lengte van de pijp gelijk blijven: veelal cirkelvormig of veelhoekig. We treffen hen als trillingsbronnen en resonatoren aan in muziekinstrumenten zoals: alle fluiten, vele orgelpijpen, klarinetten, saxofoons, trompetten, zinken, hobos, fagotten, tubas, serpenten... maar ook in slaginstrumenten zoals de vibrafoon en de marimba, waar ze als resonator worden gebruikt.

Bazisgegevens:

1. Voortplantingssnelheid van het geluid in droge lucht bij 21graden Celsius: v = 344.5 m/s

Merk op dat deze snelheid temperatuurafhankelijk is. (zie eerdere beschouwingen terzake: v = 332 SQR(1+0.00366.T), waarin T de temperatuur is uitgedrukt in graden Celsius)). Voorts is er nog een afhankelijkheid van de samenstelling van de lucht (vochtgehalte, stof). Wanneer we met alle faktoren rekening houden, blijkt dat deze snelheid in zekere mate frekwentieafhankelijk is. Voor hele hoge frekwenties blijkt ze iets af te nemen.

2. Fundamentele vrije golflengte-formule:

f = v / l

(f= frekwentie in Hz, v= geluidssnelheid in m/s, l= golflengte in meter)

vb: een toon van 440Hz heeft een golflengte van:

l = 344.5m/s / 440s^-1 = 0.783m = 78,3cm

Merk op dat dit de fyzische lengte is van de volledige periode van de drukgolf en dus niet de afstand tussen twee knooppunten of twee buiken!

 

Wil je voor een bepaalde toonhoogte weten met welke fysische golflengte (en fysische ruimtemaat) zij overeenstemt, dan gebruik je de formule alsvolgt:

vb.: buis van 60cm

f₀ = 344.5m/s / 0.6 = 574 Hz

In onderstaande figuur hebben we het luchtdrukmodulatie karakter van een geluidsgolf gepoogd weer te geven door een variabele arcering overeenkomstig de drukvariaties in het golfverschijnsel.

 

3. De toon die we zullen horen als laagste toon, wanneer we haar op de rand van de opening aanblazen, klinkt echter een oktaaf lager! De buis resoneert immers op een halve periode van de golflengte. Immers, aan de open uiteinden van een buis, moet de beweeglijkheid van de lucht wel maximaal zijn (een buik), en tussen twee buiken past een halve golflengte. De gehele golflengte is dan ook tweemaal zolang, of, wat op hetzelfde neerkomt, de toon klinkt een oktaaf lager. Voor de berekening van de grondtoon van een buis, moeten we dan ook onze golflengteformule met een faktor 2 aanpassen en krijgen we:

f₍₀₎ = v / (2 l)

• Dit is de bazisformule waarvan we gebruik maken bij alle berekeningen in verband met de akoestiek van buisachtige volumes, inklusief rechthoekige lokalen en ruimtes. We gaan er hierbij wel van uit dat de geluidssnelheid in de buis dezelfde is dan die in de omgeving buiten de buis. Dat is echter alleen het geval wanneer de buisdiameter relatief groot is. Is dat niet het geval, dan ondervindt de trillende lucht een weerstand, die de geluidssnelheid in de buis doet afnemen.
• De hogere resonantie-frekwenties, in eerste teoretische benadering, voor de hier beschouwde buis vindt je door nu alle halve golflengtes te berekenen die een geheel aantal keer in deze lengte passen. Je zal vinden dat zij -voor de hier beschouwde buis- eenvoudigweg een reeks 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... volgen. Of, uitgedrukt in toonhoogte, alle gehele veelvouden van de laagste resonantiefrekwentie of grondtoon. Dit teminste, voorzover de buis geen diameter heeft..., wat uiteraard niet kan. Naarmate de diameter van de buis groter wordt, zullen ook de afwijkingen van deze boventoonreeks groter worden, en dat op een bijzonder komplexe wijze.
• Onthoudt goed dat de golflengte van de grondtoon 2 keer de lengte heeft van de beschouwde buis.

Uitgedrukt in een eerste benaderingsformule, waarin n het volgnummer van de boventoon weergeeft:

f(n) = n * f(0)

4. Wanneer we nu de beschouwde buis aan een kant zouden afsluiten, dan kan aan die gesloten kant in elk geval geen trillingsbuik ontstaan, maar slechts een knoop. De laagste resonantiefrekwentie van een buis die aan een kant volledig is afgesloten, wordt daardoor gehalveerd in vergelijking met die van een buis van gelijke lengte die aan beide zijden open is. Beschouwen we nu de golflengtes die in de buis ingepast kunnen worden, dan komen we tot de reeks 1,3,5,7,9,11,13,15,.... Of, uitgedrukt in toonhoogte, alle oneven gehele veelvouden van de grondtoon. Ook hier weer is dit een geidealiseerd geval, omdat de afwijkingen van deze reeks ook weer groter zullen zijn wanneer de diameter groter wordt, en bovendien ook nog eens afhankelijk zijn van de frekwentie.

Merk op dat de golflengte van de grondtoon 4 keer de lengte is van de beschouwde buis. (kwart-lambda resonator)

N.B.: Ook een snaar, aangeslagen in haar middelpunt, brengt in hoofdzaak oneven harmonischen voort.

De formule voor de berekening van de grondtoon voor een aan een kant gesloten buis is dus:

f₍₀₎ = v / (4 l)

De geidealiseerde formule voor de harmonischen reeks, waarin n het volgnummer van de boventoon weergeeft is:

f(n) = ((2 * n)+1) * f(0)

5. Dit alles is echter (helaas of gelukkig maar?) veel te eenvoudig om ook maar met enige werkelijkheid in precieze overeenstemming te kunnen zijn...

In de akoestische werkelijkheid immers is het nu eenmaal niet zo dat de resonantie van een buis precies overeenstemt met de lengte. De drukgolf stopt immers niet aan het uiteinde van de buis. Ware dat het geval dan zouden we trouwens ook nooit iets kunnen horen en ware de bouw van fluiten en orgels volstrekt onmogelijk! De werkelijke trillingsbuik komt tot stand op enige afstand van het open uiteinde van de buis. Deze afstand nu is een funktie van de oppervlakte en de vorm van de doorsnede van de buis. De afwijking in de werkelijke resonantiefrekwentie op grond van de vormverhoudingen van de resonator noemt men de eindkorrektie. Zij kan empirisch en vereenvoudigd worden berekend alsvolgt:

Voor cilindrische buizen: akoestische buislengte l = lengte + (0.62 * diameter)

Wordt er een rechte flens op de buis aangebracht dan wordt deze faktor echter 0.82 * diameter.

 

Aangezien de eindkorrektie zoals blijkt uit empirisch onderzoek, mede afhankelijk is van de frekwentie, volgt hieruit dat de eindkorrektie niet voor alle harmonischen dezelfde zal zijn! De toe te passen eindkorrektie is evenredig met de verhouding van de diameter tot de golflengte van de beschouwde boventoon. Het verband kan alleen in een vierde graads vergelijking benaderend worden uitgedrukt. Het muzikaal gevolg hiervan is, dat 'juiste' boventonen in de 3-dimensionele werkelijkheid niet kunnen bestaan en naar het rijk van Plato's ideeen dienen te worden verwezen. Zij gelden alleen voor een buis met diameter nul !

A fortiori alle onzin over 'juiste boventonen' bij blaasinstrumenten die van toongaten en kleppen zijn voorzien.

• Om de akoestiek van muziekinstrumenten -en meer bepaald hun spektrum- te kunnen verklaren kunnen we in eerste benadering beter uitgaan van de 'denkbeeldige' grondfrekwentie f₀= v / (lengte+korrektie) en alle veelvouden daarvan vormen dan mogelijke pieken in het opgewekte spektrum.
• De wiskunde om blaasinstrumenten op grond van hun vorm volledig te berekenen is uiterst ingewikkeld en wordt in de praktijk zelden toegepast in de instrumentenbouw, die in eerste plaats empirisch en pragmatisch tewerk blijkt te gaan. Dit wil niet zeggen dat er niet berekend wordt, maar wel, dat de bij dit rekenen gebruikte formules grotendeels empirisch tot stand zijn gekomen en zelden op grond van afleidingen ontsproten aan de wiskunde of de teoretische fyzika.
• De werkwijze hierbij is dat men door het bouwen van enkele proefmodellen en het heel precies opmeten van hun eigenschappen, probeert te komen tot geldige tabellen met maatverhoudingen tegenover geproduceerde toonhoogte/spektrum voor reeksen instrumenten naar eenzelfde ontwerp. Dergelijke tabellen zijn heel erg gebruikelijk in de orgelbouw, waar ze mensuurtabellen of mensuurtafels worden genoemd. Voor elk orgelregister worden specifieke tabellen gebruikt. Maar, zelfs de meest nauwkeurige bouwer kan er toch niet in slagen een pijp af te leveren die met de muzikaal gewenste precizie is gestemd, zo dat de pijp zonder verdere korrekties in het orgel kan worden gebruikt. Ook bouwers van op buizen gesteunde blaasinstrumenten (fluiten, klarinetten, hobos, fagotten, koperblaasinstrumenten...) zijn erg vertrouwd met dit probleem.
• Om heel exact te zijn moeten we er echter wel op wijzen dat er twee belangrijke faktoren zijn die maken dat het exakte gedrag van een gebouwd muziekinstrument niet perfekt voorspelbaar is:

a.- de onbeschikbaarheid van volledige zuiver wiskundige beschrijvingsmodellen voor reele akoestische oscillatoren, hoewel op dit gebied vorderingen zijn gemaakt die vooral toepassing hebben gevonden in acoustical modelling, een betrekkelijk nieuwe syntezetechniek, die een wiskundig model van een trillend fysisch objekt gebruikt als generator in software.

b.- de principiele fouten die bij elke empirische meting aanwezig zijn, waardoor een gebouwd instrument steeds een kummulatieve fout zal vertonen waardoor het verschillend is van een ander 'identiek' geproduceerd exemplaar.

Met 'normale' precieze handwerktuigen kunnen we een buis van bvb. 60cm deze lengte geven met een fout van +/-0.1mm. Dit wil dus zeggen dat 20 dergelijke buizen van 60cm onderling tot 0.2mm in lengte kunnen verschillen. Wanneer voor de positie van de toongaten bvb. bij een fluit, alweer -per gat- een fout mogelijk is stel eveneens +/-0.1mm, en wanneer deze foutmarge eveneens van toepassing is op de diameter van de buis..., dan zal je makkelijk inzien dat de afgewerkte instrumenten onderling meer dan 1% dimensionele verschillen kunnen vertonen. Wanneer je je aan de bouw van instrumenten waagt, is het dan ook van het grootste belang precies te bepalen wat de fout is die het gebruik van de meettoestellen en werktuigen die je ter beschikking hebt, met zich brengt. Het heeft geen enkele zin berekeningen uit te voeren met een precizie die die van het praktisch haalbare te boven gaan. In de werkplaats van de niet werkelijk gespecialiseerde instrumentenbouwer, moet je de fout op metingen en versnijdingen begroten op 5% tot hooguit 1%, dit voor de meest zorgvuldigen onder ons.

6. De geluidsdruk voortgebracht door een aangeblazen pijp is (bij gelijkblijvende winddruk) een funktie van de diameter van de pijp. Dat is volkomen logisch omdat naarmate de diameter groter is, er ook meer lucht tot trillen zal worden gebracht. Dat orgelpijpen een grotere diameter hebben naarmate de tonen lager worden, is een gevolg van onze gehoorkarakteristiek die nu eenmaal minder gevoelig is voor lagere tonen dan voor die die met het spraakgebied overeenkomen. Merk op dat wanneer de diameter van een pijp wordt vergroot, ook de grootte van de toe te passen eindkorrektie toeneemt. De vergroting van de diameter heeft bovendien ook een invloed on het spektrum of de klankkleur.

Volgende grafische voorstelling van open en gesloten pijpen en de wijze waarop de lucht erin in resonantie kan trillen, moge een en ander duidelijk maken:

Terwille van de duidelijkheid hebben we wel de verhouding diameter tot lengte van de buis erg sterk overdreven.

7. Wanneer de pijp konisch wordt gemaakt, blijven bovenstaande formules ten dele geldig. De harmonischen-reeks voor konische pijpen bestaat net zoals voor open cyclindrische pijpen, bij benadering uit alle gehele veelvouden van de laagste resonantiefrekwentie. Echter wanneer we het extreem geval bekijken van een pijp die uitloopt op een punt, dan komt de resonantiefrekwentie overeen met die van een open pijp. Naarmate we nu het kleine gat vergroten -waarbij we het gat wel goed afgesloten houden!- , zakt de resonantietoon geleidelijkaan tot en met een geheel oktaaf. In dit geval gedraagt de konische pijp zich zoals een cilindrische die aan een kant is gesloten.

De berekeningen voor perfekt konische en aan een kant gesloten cylindrische pijpen voor 4 frekwenties zijn weergegeven in volgende illustrerende tabel:

Door het spelen met het vormverloop van een pijp, kan worden bereikt dat een maximum aantal boventonen binnen een gegeven stemming 'juist' kunnen worden gespeeld. Daarop berust de techniek van de bouwer van koperblaasinstrumenten.

In de volgende tekeningen hebben we het gedrag van gesloten konische pijpen gevisualiseerd:

Een gangbare formule voor de berekening van de resonantiefrekwentie van gestopte konische pijpen tekenden we uit alsvolgt:

De lengte getekend als c en aangeduid met de vertikale rode lijn, is niet fysisch aanwezig maar is de denkbeeldige voorzetting van konus. Voorwaarde voor de toepasbaarheid van deze formule is wel dat de lengte c veel kleiner moet zijn dan de golflengte van de berekende frekwentie.

Eigen onderzoek inzake conische pijpen met een kleine openingshoek -dus waarvoor aan de konditie C << lambda zeker niet is voldaan leverde volgend resultaat op:

Merk op dat we hier uitkwamen op kwart golflengte pijpen. De boventoonreeks verloopt -met kleine afwijkingen- als een reeks 1,2,3,4,5.... Dergelijke conische resonatoren pasten we toe in een van onze membraanorgel automaten: <3Pi>. Daar zijn ook alle onderzoeksgegevens terug te vinden.

8. het aangeblazen uiteinde van een pijp (koperblaasinstrumenten) gedraagt zich als een gesloten uiteinde. Dat is intuitief goed in te zien: immers daar moet de druk wel groot zijn. Het aangeblazen uiteinde van een fluit daareentegen, moet worden beschouwd als een open uiteinde. Ook dat kan intuitief worden ingezien, aangezien het toongat van de fluit met veel wind wordt aangeblazen. De luchtbeweging is er maximaal, de druk dus laag. Dit geldt eveneens voor kernspleetfluiten.

Voorbeelden van konische instrumenten zijn hobos en fagotten. De klarinet daareentegen is voor het grootste deel van haar boring cilindrisch en gedraagt zich grotendeels als een aan een kant gesloten pijp.

Wanneer het vormverloop van de pijp afwijkt van het zuiver cilindrische of het konische, dan worden de eigenresonanties minder uitgesproken , wat zich uit in een moeilijker intoneerbaarheid en een meer inharmonisch spektrum van het instrument. In sommige instrumenten wordt uitgerekend dit gezocht: de australische didgereedoo dankt er zijn specifieke klankkleur aan.

Enkele eenvoudige berekeningsvoorbeelden en vraagstukken:

1.- Vraag: We willen een open buis hebben met een toonhoogte van 440Hz bij een temperatuur van 21 graden celsius. We willen daarvoor PVC buis gebruiken met een binnendiameter van 0.0285m. Welke lengte moeten we afzagen op precies bij 440Hz uit te komen?

- geluidssnelheid bij T=21 graden: v = 332 * SQR(1+0.00466.T) = 344,5m/s

- gewenste akoestische golflengte voor 440Hz: l= v/f = 344,5 / 440 = 0.783m

- de buis is aan beide kanten open en bevat een halve golf, dus 0.391 m

- hiervan moeten we tweemaal de eindkorrektie aftrekken: 2 (0.62 * 0.0285) = 0.035m

0.391m - 0.035m = 0.356m

Wanneer we deze buis nu aan een kant dichtmaken, dan zakt de toon tot:

- de akoestische lengte komt nu overeen met een kwart golf en wordt nu: l + 0.62d, of 0.356 + (0.62 * 0.0285) = 0.373 waarbij de gehele akoestische golflengte nu overeenkomt met het viervoudige hiervan, of: 1.495m .

- de frekwentie wordt nu: f = 344.5/ 1.495 = 230.4Hz

Je ziet meteen dat het interval heel wat kleiner is dan een oktaaf!

Inharmoniciteit van de trillingen in luchtkolommen

Kundt kwam -reeds in de 19e eeuw- langs experimentele weg tot volgende bevindingen, die voor de praktijk van de instrumentenbouw en voor een goed begrip van de oorzaken van inharmoniciteit in trillende luchtkolommen, wel degelijk een belangrijke betekenis hebben:

• a. De snelheid van het geluid in een buis neemt af wanneer de diameter ervan afneemt. Vanaf een bepaalde diameter echter, is de geluidssnelheid in de buis dezelfde van die gemeten daarbuiten, in de omringende lucht.
• b. De mate waarin de geluidssnelheid afneemt in funktie van afnemende diameter van de buis, neemt toe met de golflengte van de toon.
• c. verontreinigingen (stof en poeder) in de buis met kleine diameter, verminderen de geluidssnelheid nog verder.
• d. wanneer het oppervlak van de buis ruwer wordt gemaakt, daalt ook de geluidssnelheid. Naarmate de diameter toeneemt, is dit effekt geringer.
• e. In buizen met grote diameter is de geluidssnelheid onafhankelijk van de amplitude, maar wanneer de diameter afneemt, neemt de geluidssnelheid weer toe met toenemende geluidsdruk.

(Vertaling door onszelf, en geciteerd in Rayleigh, "The Theory of Sound", volume 2,p.59, oorspronkelijk gepubliceerd in 1896. Kundt publiceerde zijn resultaten reeds in 1868. )

Bevinding a kan proefondervindelijk aangetoond worden met een eind transparante slang in zacht PVC passend in de boring van een klarinet of saxofoonmondstuk. De voortgebrachte grondtoon is 'infrasoon' en lijkt in geen verband te staan met de fysische lengte van de slang. Luister ook eens goed naar de tonen die verkregen worden bij overblazen...

Bevinding b, maakt dat de boventoonreeks van een buis alvast zeker niet harmonisch kan zijn. Zelfs de oktaven zijn te klein. Voor gangbare pijplengte en diameter verhoudingen mogen we er gerust van uitgaan dat vanaf de 10e boventoon, we mijlen verwijderd zijn van een harmonische reeks. Vanzodra de diameter van de buis niet meer te verwaarlozen is tegenover de golflengte van de beschouwde boventoon, is de inharmoniciteit zelfs niet eens meer geleidelijk, maar vertoont zij een slingerend gedrag.

Bevinding d is van belang voor het verklaren van het verschil in toon bij klarinetten en hobo's gemaakt uit hout enerzijds en gepolierde kunststof anderzijds.

Filedate: 970928/ updated 2022-02-28